Class 10 Maths Chapter 2 Polynomial Exercise 2.3 NCERT Solutions in Hindi Medium
बहुपद Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 2.3
प्रश्न 1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
Solution
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
भागफल q(x) = x - 3 और
शेषफल = 7x - 9
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
भागफल q(x) = x2 + x - 3 और
शेषफल = 8
(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2
भागफल q(x) = - x2 - 2 और
शेषफल = -5x + 10
प्रश्न 2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
Solution
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |
अत: 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12 का एक गुणनखंड t2 – 3 है |
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |
अत: 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 का एक गुणनखंड x2 + 3x + 1 है |
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
चूँकि शेषफल r(x) = 2 है |
अत: x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 का एक गुणनखंड x3 – 3x + 1 नहीं है |
प्रश्न 3. 3x4 + 6x3 - 2x3 - 10x - 5 के अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक √5/3 और -√5/3 हैं |
Solution
दिया गया है : p(x) = 3x4 + 6x3 - 2x2 - 10x - 5
इसलिए 3x4 + 6, p(x) का एक गुणनखंड है |
अब 3x2 - 5 से 3x4 + 6x3 - 2x2 - 10x - 5 में भाग देने पर
अत: p(x) = (3x2 - 5) (x2 + 2x + 1)
अब, x2 + 2x + 1 को गुणनखंड कर शुन्यक ज्ञात करने पर,
x2 + x + x + 1 = 0
⇒ x(x + 1) + 1(x + 1) = 0
⇒ (x + 1) (x + 1) = 0
⇒ x + 1 = 0, x + 1 = 0
⇒ x = -1, x = -1
प्रश्न 4. यदि x3 - 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x - 2 और - 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए ।
Solution
दिया है : भाज्य p(x) = x3 - 3x2 + x + 2
भागफल q(x) = x - 2,
शेषफल r(x) = - 2x + 4
भाजक g(x) = ?
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
x3 - 3x2 + x + 2 = g(x) (x - 2) + (- 2x + 4)
⇒ x3 - 3x2 + x + 2 + 2x - 4 = g(x) (x - 2)
⇒ g(x) (x - 2) = x3 - 3x2 + 3x - 2
अत: भाजक g(x) = x2 - x + 1 है |
प्रश्न 5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात q(x) हो
(ii) घात q(x) = घात r(x) हो
(iii) घात r(x) = 0 हो
Solution
युक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से,
p(x) = g(x) × q(x) + r(x) जहाँ q(x) ≠ 0 हो
(i) घात p(x) = घात q(x) हो
भाज्य p(x) और भागफल q(x) की घात सामान तभी हो सकता है जब भाजक g(x)की घात 0 अर्थात कोई संख्या हो|
उदाहरण: माना p(x) = 2x2 - 6x + 3 और माना g(x) = 2
भाग देने पर,
p(x) = 2x2 - 6x + 2 + 1
= 2(x2 - 3x + 1) + 1
अब 2(x2 - 3x + 1) + 1 को p(x) = g(x) × q(x) + r(x) से तुलना करने पर हम पाते हैं :
अत: q(x) = x2 - 3x + 1 और r(x) = 1
इससे घात p(x) = घात q(x) प्राप्त होता है |
(ii) घात q(x) = घात r(x) हो
यह स्थिति तब आती है जब p(x) और g(x) का घात सामान हो जैसे -
माना p(x) = 2x2 + 6x + 7 और g(x) = x2 + 3x + 2
भाग देने पर: q(x) = 2 और r(x) = 3
अत: घात q(x) = घात r(x) है |
(iii) घात r(x) = 0 हो
r(x) = 0 तब होता है जब p(x), g(x) से पूर्णत: विभाजित हो :
माना p(x) = x2 - 1 और g(x) = x + 1
विभाजित करने पर,
q(x) = x - 1 और r(x) = 0 प्राप्त होता है |