Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Exercise 4.1 NCERT Solutions in Hindi Medium
द्विघात समीकरण Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 4.1
प्रश्न 1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:
(i) (x + 1)2 = 2(x - 3)
(ii) x2 - 2x = (-2) (3 - x)
(iii) (x - 2) (x + 1) = (x - 1) (x + 3)
(iv) (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)
(v) (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)
(vi) x2 + 3x + 1 = (x - 2)2
(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 - 1)
(viii) x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2)3
Solution
(i) (x + 1)2 = 2(x - 3)
(x + 1)2 = 2(x - 3)
⇒ x2 + 2x + 1 = 2x - 6
⇒ x2 + 2x - 2x + 1 + 6 = 0
⇒ x2 + 7 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = 0 और c = 7 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(ii) x2 - 2x = (-2) (3 - x)
x2 - 2x = - 6 + 2x
⇒ x2 - 2x - 2x + 6 = 0
⇒ x2 - 4x + 6 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = - 4 और c = 6 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(iii) (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)
(x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)
⇒ x2 + x - 2x -2 = x2 + 3x - x - 3
⇒ x2 - x2+ x + x - 2x + 3x -2 + 3 = 0
⇒ 2x - x - 1 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है |
... यह द्विघात समीकरण नहीं है |
(iv) (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)
(x - 3) (2x +1) = x( x + 5)
⇒ 2x2 + x - 6x - 3= x2 + 5x
⇒ 2x2 - 5x - 3= x2 + 5x
⇒ 2x2 - x2 - 5x - 5x - 3 = 0
⇒ x2 - 10x - 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = - 10 और c = - 3 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(v) (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)
(2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)
⇒ (2x - 1) (2x - 6 ) = (x + 5) (x - 1)
⇒ 4x2 - 12x - 2x + 6 = x2 + 4x - 5
⇒ 4x2 - 14x + 6 = x2 - x + 4x - 5
⇒ 4x2 - x2 - 14x - 4x + 6 + 5 = 0
⇒ 3x2 - 18x + 11 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 3, b = - 18 और c = 11 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(vi) x2 + 3x + 1 = (x - 2)2
x2 + 3x + 1 = (x - 2)2
⇒ x2 + 3x + 1 = x2 - 2x +4
⇒x2 - x2 + 4x + 3x + 1 - 4 = 0
⇒ 7x - 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है |
... यह द्विघात समीकरण नहीं है |
(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 - 1)
(x + 2)3 = 2x( x2 - 1)
⇒ x3 + 8 + 6+ 12x = 2x3 - 2x
⇒ 2x3 - x3 - 6-12x + 2x - 8 = 0
⇒ x3 - 6x2 -10x - 8 =0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है |
... यह द्विघात समीकरण नहीं है |
(viii) x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2 )3
x3 - 4x2- x + 1 = (x - 2 )3
⇒x3 - 4x2- x + 1 = x3 - 8 + 6x2 + 12x
⇒ x3 - x3 - 4x2+ 6x2 -12x + 1 = 0
⇒ 2x2 -13x + 1 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 2, b = - 13 और c = 1 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
प्रश्न 2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 मी2 है | क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है | हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है |
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है |
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है |
(iv) एक रेलगाड़ी 480 कीमी की दुरी समान चाल से तय करती है | यदि इसकी चाल 8 कीमी/घंटा कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती | हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|
Solution
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 मी2 है | क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है | हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है |
एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2
माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m
आयताकार भूखंड की लंबाई = 2x + 1 m
आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2
लंबाई × चौड़ाई = 528
(2x + 1)x = 528
⇒ 2x2 + x = 528
⇒ 2x2 + x - 528 = 0
चूँकि यह ax2 + bx + c = 0 के रूप में है| अत: यह द्विघात समीकरण है |
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है |
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
माना पहला धनात्मक पूर्णाक = x
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
पहला धनात्मक पूर्णाक × दूसरा धनात्मक पूर्णाक = 306
(x + 1)x = 306
⇒ x2 + x = 306
⇒ x2 + x - 306 = 0
चूँकि यह ax2 + bx + c = 0 के रूप में है| अत: यह द्विघात समीकरण है |
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है |
माना रोहन की वर्तमान आयु = x
रोहन की माँ की आयु = x + 26
तीन वर्ष पश्चात रोहन की आयु = x + 3
तीन वर्ष पश्चात रोहन की माँ की आयु = x + 26 + 3
= x + 29
दोनो की आयु का गुणनफल = 306
(x + 29)(x + 3) = 306
⇒ x2 + 29x + 3x + 87 = 306
⇒ x2 + 32x + 87 = 306
⇒ x2 + 32x = 273
⇒ x2 + 32x - 273 = 0
चूँकि यह ax2 + bx + c = 0 के रूप में है| अत: यह द्विघात समीकरण है |
(iv) एक रेलगाड़ी 480 कीमी की दुरी समान चाल से तय करती है | यदि इसकी चाल 8 कीमी/घंटा कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती | हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|
माना रेलगाड़ी की समान्य चाल x कीमी/घंटा है |
रेलगाड़ी द्वारा तय की गयी दुरी = 480 कीमी
चूँकि यह ax2 + bx + c = 0 के रूप में है| अत: यह द्विघात समीकरण है |