Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Exercise 4.4 NCERT Solutions in Hindi Medium
द्विघात समीकरण Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 4.4
प्रश्न 1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए | यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2x2 - 3x + 5 = 0
(ii) 3x2 - 4√3x + 4 = 0
(iii) 2x2 + 6x + 3 = 0
नोट: मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए विवितकर (Discriminant) अर्थात D = b2 - 4ac ज्ञात करेंगे |
यदि D का मान 0 है (D = 0) तो प्रकृति - दो वास्तविक और समान मूल होंगे, और D का मान 0 से अधिक अर्थात धनात्मक है (D > 0) तो प्रकृति - दो वास्तविक और असमान मूल होगा और यदि D का मान 0 से कम है अर्थात ऋणात्मक है (D < 0) तो मूल का कोई अस्तित्व नहीं होगा अर्थातकोई मूल नहीं होगा |\
Solution
(i) 2x2 - 3x + 5 = 0
ax2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 2, b = -3 और c = 5
∴ विविक्तर, D2 = b2 -4ac
= (-3)2 - 4×2×5
= 9 - 40
= -31 < 0
चूँकि D < 0 है, अतः दी गयी समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं अर्थात इसके अधिकल्पित मूल हैं |
(ii) 3x2 - 4√3x + 4 = 0
ax2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 3, b = -4√3 और c = 4
∴ विविक्तर, D2 = b2 -4ac
= (-4√3)2 - 4×3×4
= 48 - 48
= 0
चूँकि D = 0 है, अत: इसके दो वास्तविक एवं समान मूल होंगे |
(iii) 2x2 + 6x + 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 2, b = 6 और c = 3
∴ विविक्तर, D2 = b2 -4ac
= (6)2 - 4×2×3
= 36 - 24
= 12
चूँकि D > 0 से अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |
प्रश्न 2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों |
(i) 2x2 + kx + 3 = 0
(ii) kx (x - 2) + 6 = 0
Solution
(i) 2x2 + kx + 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 2, b = k और c = 3
चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात D = 0
∴ b2 -4ac = 0
(ii) kx (x - 2) + 6 = 0
⇒ kx2 - 2kx + 6 = 0
ax2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = k, b = -2k और c = 6
चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात D = 0
∴ b2 -4ac = 0
प्रश्न 3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 मी2 हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |
Solution
माना आम की बगिया की चौड़ाई = x मी
तो लंबाई = 2x मी
प्रश्नानुसार,
आम की बगिया का क्षेत्रफल = 800 मी2
अतः, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल = 2x × x
⇒ 2x2 = 800
⇒ x2 = 400
⇒ x = ±20
क्यूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,
∴ चौड़ाई = x = 20 मी
लंबाई = 2x m = 2×20 = 40 मी
प्रश्न 4. क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए | दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है| चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था |
Solution
माना एक मित्र की वर्त्तमान आयु = x वर्ष
तो दुसरे मित्र की वर्त्तमान आयु = 20 - x वर्ष
4 वर्ष पहले दो मित्रों में से एक की आयु = (x - 4) वर्ष
4 वर्ष बाद दो मित्रों में से एक की आयु = (20 - x - 4) = (16 - x) वर्ष
4 वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल,
⇒ (x - 4) (20 - x - 4) = 48
⇒ (x - 4) (16 - x) = 48
⇒ 16x - x2 - 64 + 4x = 48
⇒ 20x - x2 - 64 - 48 = 0
⇒ 20x - x2 - 112 = 0
⇒ x2 - 20x + 112 = 0
इस समीकरण के मूल का अस्तित्व है या नहीं यह जाँच करेंगे |
ax2 + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 1, b = -20 और c = 112
D = b2 - 4ac
= (-20)2 - 4×1×112
= 400 - 448
= -48
चूँकि D < 0 है इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, अत: यह संभव नहीं है |
प्रश्न 5. क्या परिमाप 80 मी तथा क्षेत्रफल 400 मी2 के एक पार्क को बनाना संभव है ? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |
Solution
माना पार्क का लंबाई = x मी
और चौड़ाई = y मी
तो, 2(लंबाई + चौड़ाई) = परिमाप
2(x + y) = 80 मी
⇒ x + y = 40 मी
⇒ y = 40 - x मी
अत: चौड़ाई = 40 - x मी
अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल
x(40 - x) = 400
⇒ 40x - x2 = 400
⇒ x2 - 40x + 400 = 0
⇒ x2 - 20x - 20x + 400 = 0
⇒ x(x - 20) - 20(x - 20) = 0
⇒ (x - 20) (x -20) = 0
⇒ x - 20 = 0, x - 20 = 0
⇒ x = 20 और x = 20
अत: पार्क की लंबाई = 20 मीटर तो चौड़ाई = 40 - 20 = 20 मीटर
अतः, यह संभव है की एक ऐसा आयातकार पार्क बनाया जाए जिसकी लम्बाई और चौड़ाई सामान हो |