Class 10 Maths Chapter 13 Surface Area and Volume Exercise 13.2 NCERT Solutions in Hindi Medium
पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 13.2
जब तक अन्यथा नहीं कहा जाए π = 22/7 का प्रयोग कीजिए |
प्रश्न 1. एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 सेमी हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है | इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए |
Solution
दिया है, एक ठोस, एक अर्द्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है।
प्रश्नानुसार, शंकु की त्रिज्या = अद्धगोले की त्रिज्या = 1 सेमी
और, शंकु की ऊँचाई = 1 सेमी
∴ ठोस का अभीष्ट आयतन = शंकु का आयतन + अर्द्धगोले का आयतन
प्रश्न 2. एक इंजीनियरिंग के विधार्थी रचेल से एक पतली एल्युमिनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों | इसा मॉडल का व्यास 3 सेमी है और इसकी लंबाई 12 सेमी है | यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 सेमी हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए|
Solution
दिया है, एक मॉडल एक बेलन और दो शंकुओं से मिलकर बना है।
मॉडल का व्यास, BC = ED = 3 सेमी
∴ त्रिज्या = 3/2 = 1.5 सेमी
शंकु की ऊँचाई, h1 = 2 सेमी
तथा, मॉडल की लंबाई = AF = 12 सेमी
∴ OO′ = AF – (AO + O′F) = 12 – (2 + 2) = 8 सेमी
∴ बेलन की ऊँचाई, h2 = 8 सेमी
∴ मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन = 2×शंकु का आयतन + बेलन का आयतन
प्रश्न 3. एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है | 45 गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई 5 सेमी और व्यास 2.8 सेमी है (देखिए आकृति 13.15) |
Solution
माना अर्द्धगोला और बेलन दोनों की त्रिज्या है और बेलन की ऊँचाई h है जो उसके त्रिज्या के समान है।
दिया है, प्रत्येक गुलाब जामुन की लंबाई = 5 सेमी, व्यास = 2.8 सेमी
∴ त्रिज्या, r = h1 = 2.8/2 =1.4 सेमी
और, h = PQ – (PR + SQ)
= 5 – (1.4 + 1.4 ) = 5 - 2.8 = 2.2 सेमी
∴ एक गुलाब जामुन का आयतन = 2×अर्द्धगोले का आयतन + बेलन का आयतन
प्रश्न 4. एक कमलदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना हा जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं | घनाभ की विमाएँ 15 सेमी × 10 सेमी × 3.5 सेमी हैं | प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 सेमी है और गहराई 1.4 सेमी है | पुरे कमलदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 13.16) |
Solution
दिया है, घनाभ की लंबाई = 15 सेमी
घनाभ की चौड़ाई = 10 सेमी
और, घनाभ की ऊँचाई = 3.5 सेमी
∴ घनाभ का आयतन = 1×b×h
= 15 × 10 × 3.5 = 525 सेमी3
शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या (r) = 0.5 सेमी
शंक्वाकार गड्ढे की गहराई (h) = 1.4 सेमी
अतः पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन - चार शंक्वाकार गड्ढों का आयतन
= 525 - 22/15
= 525 - 1.47
= 523.53 सेमी3
प्रश्न 5. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है | इसकी ऊँचाई 8 सेमी है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 सेमी त्रिज्या है | यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है | जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमे प्रत्येक 0.5 सेमी त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है | बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए |
Solution
दिया है, बर्तन शंकु के आकार का है।
बर्तन (शंकु) की ऊँचाई (h) = 8 सेमी
बर्तन की त्रिज्या (r) = 5 सेमी
माना बर्तन में सीसे की n गोलियाँ डाली जाती हैं।
प्रश्नानुसार,
n×सीसे की एक गोली का आयतन = 1/4 ×बर्तन में भरे पानी का आयतन
(∴ पानी से भरे बर्तन में गोलियाँ डालने पर गोलियों के आयतन के बराबर पानी बाहर निकलेगा।)
अतः सीसे की गोलियों की अभीष्ट संख्या = 100
प्रश्न 6. ऊँचाई 220 सेमी और आधार व्यास 24 सेमी वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 सेमी और त्रिज्या 8 सेमी वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का स्तंभ बना है | इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 सेमी3 लोहे का द्रव्यमान लगभग 8 g होता है | (π = 3.14 लीजिए |)
Solution
दिया है, पहले बेलन की ऊँचाई, h1 = 220 सेमी
पहले बेलन की त्रिज्या, r1 = 24/2 = 12 सेमी
दूसरे बेलन की ऊँचाई, h2 = 60 सेमी
दूसरे बेलन की त्रिज्या, r2 = 8 सेमी
∴ लोहे के स्तंभ का आयतन = पहले बेलन का आयतन + दूसरे बेलन का आयतन
प्रश्न 7. एक ठोस में, ऊँचाई 120 सेमी और त्रिज्या 60 सेमी वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है | इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे | यदि बेलन की त्रिज्या 60 सेमी है और ऊँचाई 180 सेमी है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए |
Solution
दिया है, बेलन की ऊँचाई (h) = 180 सेमी = 1.8 मी (∵1 मी = 100 सेमी ⇒ 1 सेमी = 1/100 मी)
बेलन की त्रिज्या (r) = 60 सेमी = 0.6 मी
वृत्तीय बेलन में भरे पानी का आयतन = πr2h
ठोस में, एक शंकु सम्मिलित है, जो एक अर्द्धगोले पर अध्यारोपित है।
शंकु की ऊँचाई (h1) = 120 सेमी = 1.2 मी
शंकु की त्रिज्या (r1) = 60 सेमी = 0.6 मी
और अर्द्धगोले की त्रिज्या (r2) = 60 सेमी = 0.6 मी
∴ ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अद्धगोले का आयतन
अतः बेलन में शेष बचे पानी का आयतन = बेलन में भरे पानी का आयतन - ठोस का आयतन
हम जानते हैं कि जब पानी से भरे लंबवृत्तीय बेलन में कोई ठोस रखा जाता है, तब बेलन से पानी ठोस के आयतन के बराबर बाहर निकलता है। अर्थात् यदि हमें बेलन में बचे हुए पानी का आयतन निकालने के लिए ठोस के आयतन को पानी से भरे बेलन के आयतन में घटा लिया जाता है।
प्रश्न 8. एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लंबाई 8 सेमी है और व्यास 2 सेमी है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 सेमी है | इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 सेमी3 है | जाँच कीजिए कि बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए की उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है और π = 3.14 |
Solution
सही नहीं है।
दिया है, एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है।
बेलन की ऊँचाई (h1) = 8 सेमी
बेलन की त्रिज्या (r1) = 2/2 = 1 सेमी
गोले की त्रिज्या (r2) = 8.5 सेमी
∴ गोलाकार काँच के बर्तन में भरे पानी का आयतन = बेलन का आयतन + गोलाकार भाग का आयतन
अतः सही उत्तर 346.51 सेमी3 है।