Class 9 Maths Chapter 9 Areas of Parallelograms and Triangles 9.2 NCERT Solutions in Hindi Medium
समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 9.2
प्रश्न 1. आकृति में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 सेमी, AE = 8 सेमी और CF = 10 सेमी है, तो AD ज्ञात कीजिए । (देखिये आकृति 9.15)
Solution
हम जानते हैं कि,
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × शीर्षलम्ब
दिया है, AE = 8 सेमी, CF = 10 सेमी तथा AB = 16 सेमी
∴ ar (समान्तर चतुर्भुज ABCD) = DC×AE = 16×8 सेमी2 (∵ AE = 8 सेमी)
तथा, ar (समान्तर चतुर्भुज ABCD) = AD×CF = AD×10 (∵ CF = 10 सेमी)
समी (i) से,
16×8 = AD×10
प्रश्न 2. यदि E, F, G और H क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं, तो दर्शाइए कि ar(EFGH) = ½ ar(ABCD) है।
Solution
दिया है, E, F, G तथा H क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD तथा AD के मध्य-बिन्दु हैं। अब मध्य-बिन्दु H तथा F मिलाते हैं जिससे बना रेखाखण्ड CD तथा AB के समान्तर होगा।
अब, समान्तर चतुर्भुज HDCF तथा ∆HGF समान आधार HF तथा समान समान्तर रेखाओं DC तथा HF के मध्य स्थित है।
इसी प्रकार, समान्तर चतुर्भुज ABFH तथा ∆HEF समान आधार HF तथा समान समान्तर रेखाओं HF तथा AB के मध्य स्थित है।
समी (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
प्रश्न 3. P और Q क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु हैं। दर्शाइए कि ar(APB) = ar(BQC) है।
Solution
दिया है, एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है। P तथा Q कोई दो बिन्दु हैं जो क्रमशः भुजाओं DC तथा AD पर स्थित है।
अब, समान्तर चतुर्भुज ABCD तथा ∆BQC समान आधार BC तथा समान समान्तर रेखाओं BC तथा AD के मध्य स्थित है।
ar (∆BQC) = ½ ar (ABCD) ...(i)
इसी प्रकार, ∆APB तथा समान्तर चतुर्भुज ABCD समान आधार AB तथा समान समान्तर रेखाओं AB तथा CD के मध्य स्थित है।
ar (∆APB) = ½ ar (ABCD) ...(ii)
समी (i) तथा (ii) से,
ar (∆APB) = ar (∆BQC)
प्रश्न 4. आकृति में, P समान्तर चतुर्भुज ABCD के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिन्दु है। (देखिये आकृति 9.16)
दर्शाइए कि:
(i) ar(APB) + ar(PCD) = ½ ar(ABCD)
(ii) ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)
Solution
दिया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके अभ्यंतर P कोई बिंदु है |
सिद्ध करना है:
(i) ar(APB) + ar(PCD) = ½ ar(ABCD)
(ii) ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)
रचना: P बिंदु से होकर AB के समांतर GH खिंचा और AD के समान्तर EF खिंचा |
प्रमाण:
AB || GH रचना से और AB = GH है इसलिए ABHG एक समांतर चतुर्भुज है |
इसी प्रकार DCHG भी एक समांतर चतुर्भुज है |
अब,
ΔAPB तथा समांतर चतुर्भुज ABHG एक ही आधार AB तथा AB || GH के मध्य स्थित है |
अतः ar (APB) = ½ ar(ABHG) ...(i)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के मध्य स्थित त्रिभुज समांतर चतुर्भुज का आधा होता है |)
इसीप्रकार, ΔPCD तथा समांतर चतुर्भुज DCHG एक ही आधार DC तथा DC || GH के मध्य स्थित है |
अत: ar(PCD) = ½ ar(DCHG) ...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) जोड़ने पर,
ar (APB) + ar (PCD) = ½ ar(ABHG) + ½ ar(DCHG)
ar (APB) + ar (PCD) = ½ ar (ABCD) ...(iii)
अब ΔAPD और समांतर चतुर्भुज ADFE एक ही आधार AD तथा AD || EF के मध्य स्थित है |
इसलिए, ar(APD) = ½ ar(ADFE) ...(iv)
इसीप्रकार, ΔPBC और समांतर चतुर्भुज BCFE एक ही आधार BC तथा BC || EF के मध्य स्थित है |
इसलिए, ar(PBC) = ½ ar(BCFE) ...(v)
समीकरण (iv) और (v) को जोड़ने से,
ar(APD) + ar(PBC) = ½ ar(ADFE) + ½ ar(BCFE)
या ar(APD) + ar(PBC) = ½ ar(ABCD)
या ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD) ...समीकरण (iii) से
प्रश्न 5. आकृति में, PQRS और ABRS समान्तर चतुर्भुज हैं तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिन्दु है। (देखिये आकृति 9.17)
दर्शाइए कि:
(i) ar(PQRS) = ar(ABRS)
(ii) ar(AXS ) = ½ ar(PQRS)
Solution
दिया है: PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज है तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है |
सिद्ध करना है:
(i) ar(PQRS) = ar(ABRS)
(ii) ar(AXS ) = ½ ar(PQRS)
प्रमाण:
समांतर चतुर्भुज PQRS तथा समांतर चतुर्भुज ABRS एक ही आधार SR तथा SR|| PB के मध्य स्थित हैं |
इसलिए प्रमेय 9.1 से
ar(PQRS) = ar(ABRS) ...(i)
अब, ΔAXS तथा ||gm ABRS एक ही आधार AS तथा AS || BR के मध्य स्थित है |
प्रश्न 6. एक किसान के पास समान्तर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिन्दु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है । वह ऐसा कैसे करे ?
Solution
दिया है, PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है तथा RS पर कोई बिन्दु A है। अब, PA तथा PQ को मिलाते हैं। इस प्रकार, खेत तीन भागों में विभाजित हो जाएगा तथा प्रत्येक भाग एक त्रिभुज की आकृति में होगा ।
चूँकि ΔAPQ तथा समान्तर चतुर्भुज PQRS समान आधार PQ तथा समान समान्तर रेखाओं PQ तथा SR के मध्य स्थित है।
∴ ar (ΔAPQ) = = ar (PQRS) ...(i)
तब शेष भाग,
ar (ΔASP) + ar (ΔARQ) = 1⁄2 ar (PQRS) ...(ii)
अब, समी (i) तथा (ii) से,
ar (ΔAPQ) = ar (ΔASP) + ar (ΔARQ)
अतः किसान के पास दो विकल्प हैं।
या तो किसान को ΔAPS तथा ΔAQR में गेहूँ तथा दालें बोनी चाहिए या ar [ΔAPQ तथा (ΔAPS तथा ΔAQR)] में अलग-अलग गेहूँ तथा दालें बोनी चाहिए।