Class 9 Maths Chapter 5 Introduction to Euclid's Geometry Exercise 5.1 NCERT Solutions in Hindi Medium
युक्लिड की ज्यामिति का परिचय Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 5.1
प्रश्न 1. निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से कथन असत्य हैं? अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए।
(i) एक बिंदु से होकर वेफवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
(ii) दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं।
(iii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।
(iv) यदि दो वृत्त बराबर हैं, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
(v) आकृति 5.9 में, यदि AB = PQ और PQ = XY, तो AB = XY होगा |
Solution
(i) असत्य, एक बिन्दु से होकर अपरिमित रूप से अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(ii) असत्य, दो भिन्न बिन्दुओं से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
(iii) सत्य,
(iv) सत्य (∴ दो बराबर वृत्तों की त्रिज्याएँ सदैव बराबर होती हैं।)
(v) AB = PQ ...(i)
PQ = XY
⇒ XY = PQ ...(ii)
समी (i) तथा (ii) से, AB = XY
प्रश्न 2. निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए। क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद हैं, जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं और आप इन्हें कैसे परिभाषित कर पाएँगे?
(i) समांतर रेखाएँ
(ii) लम्ब रेखाएँ
(iii) रेखाखंड
(iv) वृत्त की त्रिज्या
(v) वर्ग
Solution
(i) समान्तर रेखाएँ: एक समतल में दो रेखाओं को समान्तर कहते हैं, यदि वे कोई भी उभयनिष्ठ बिन्दु नहीं रखती हैं।
चित्र में x तथा y समान्तर हैं क्योंकि इनमें कोई भी उभयनिष्ठ नहीं है तथा हम इन्हें x || y भी लिखते हैं। यहाँ, पद बिन्दु अपरिभाषित होता है।
(ii) लम्ब रेखाएँ: एक समतल में दो रेखाओं को लम्बवत् कहते हैं, यदि वे एक-दूसरे को केवल एक ही समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
चित्र में, P तथा Q को लम्बवत् रेखाएँ कहते हैं क्योंकि ये एक-दूसरे को 90° पर प्रतिच्छेद करती है तथा इन्हें Q ⊥ P भी लिखते हैं। यहाँ, पद एक समकोण अपरिभाषित होता है।
(iii) रेखाखण्ड: दो बिन्दुओं के बीच की निश्चित दूरी (लम्बाई) को रेखाखण्ड कहते हैं।
चित्र में, A तथा B के बीच निश्चित लम्बाई एक रेखाखण्ड है तथा इसे AB से निरूपित किया जाता है। यहाँ, पद निश्चित लम्बाई अपरिभाषित होती है।
(iv) वृत्त की त्रिज्या: वृत्त पर स्थित किसी बिन्दु से केन्द्र के बीच की दूरी को वृत्त की त्रिज्या कहते हैं।
चित्र में, OA वृत्त की त्रिज्या है। यहाँ, पद बिन्दु तथा केन्द्र अपरिभाषित होते हैं।
(v) वर्ग: एक वर्ग, एक आयत होता है जिसकी लम्बाई तथा चौड़ाई समान होती है।
यहाँ, पद लम्बाई, चौड़ाई तथा आयत अपरिभाषित होते हैं।
प्रश्न 3. नीचे दी हुई दो अभिधरणाओं पर विचार कीजिए:
(i) दो भिन्न बिंदु A और B दिए रहने पर, एक तीसरा बिंदु C ऐसा विद्यमान है जो A और B के बीच स्थित होता है।
(ii) यहाँ कम से कम ऐसे तीन बिंदु विद्यमान हैं कि वे एक रेखा पर स्थित नहीं हैं।
Solution
अनेक अपरिभाषित शब्द होते हैं जिनकी जानकारी (ज्ञान) होना चाहिए। ये संगत होते हैं क्योंकि ये दो विभिन्न परिस्थितियों पर निर्भर करती हैं।
(i) यदि दो बिन्दु A तथा B दिए गए हैं, तब एक तीसरा बिन्दु C अस्तित्व में है जो बिन्दुओं A तथा B के बीच में होता है।
(ii) यदि दो बिन्दु A तथा B दिए गए हैं, तब हम एक बिन्दु C ले सकते हैं जो बिन्दुओं A तथा B से होकर जाने वाली रेखा पर स्थित नहीं होता है।
यह अभिधारणाएँ यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्राप्त नहीं होती हैं। फिर भी, ये अभिगृहीतों से प्राप्त होती है।
यूक्लिड अभिधारणा 1 कहती है कि दिए हुए दो भिन्न बिन्दुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।
प्रश्न 4. यदि दो बिन्दुओं A और B के बीच एक बिंदु C ऐसा स्थित है कि AC = CD है, तो सिद्ध कीजिए कि AC = ½AB है | एक आकृति खींच कर इसे स्पष्ट कीजिए |
Solution
दो बिन्दुओं A तथा B से होकर एक रेखा खींची जाती है कि उनके बीच एक बिन्दु C स्थित हो। रेखाखण्ड AC को लेते हैं तथा रेखा AB पर रखते हैं अर्थात् AC रेखाखण्ड AB को एक के ऊपर एक क्षेत्र में घेरता है।
∴ AB = AC + AC
⇒ AB = 2AC
∴ AC = 1/2 AB
प्रश्न 5. प्रश्न 4 में, बिंदु C रेखाखंड AB का एक मध्यबिंदु कहलाता है | सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है |
Solution
यहाँ, बिन्दु C रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु इस प्रकार है कि
AC = BC
माना AB के दो मध्य- बिन्दु C तथा C ' हैं।
∴ AC = 1/2 AB
तथा AC' = 1/2 AB
⇒ AC = AC'
ये तभी सम्भव है जब C तथा C' सम्पाती हों।
इसलिए बिन्दु C', बिन्दु C पर स्थित है।
अतः प्रत्येक रेखाखण्ड का एक और केवल एक ही मध्य-बिन्दु होता है।
प्रश्न 6. आकृति 5.10 में, यदि AC = BD है तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है |
दिया है,
AC = BD
⇒ AC – BC = BD – BC (∵ बराबर को बराबर से घटाते हैं)
∴ AB = CD
प्रश्न 7. यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत 5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना
जाता है? (ध्यान दीजिए कि यह प्रश्न पाँचवीं अभिधरणा से संबंधित नहीं है।)
Solution
अभिगृहीत 5 के अनुसार, हम रखते हैं कि 'पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है' ये सार्वत्रिक सत्य है।
माना एक रेखाखण्ड PQ = 8 सेमी, एक बिन्दु R की इसके अन्तर्गत कल्पना इस प्रकार की जाती है कि PR = 5 सेमी।
अत: स्पष्ट है कि PR रेखाखण्ड PQ का एक भाग है तथा R इसके अन्तर्गत स्थित है। चूँकि PR, PQ से छोटा है। अतः पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।