Class 9 Maths Chapter 9 Areas of Parallelograms and Triangles 9.4 NCERT Solutions in Hindi Medium
समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 9.4
प्रश्न 1. समान्तर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं । दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
Solution
दिया है, समान्तर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार AB पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल भी बराबर हैं|
आयत ABEF में, AB = EF
तथा समान्तर चतुर्भुज ABCD में,
CD = AB
⇒ AB + CD = AB + EF ...(i)
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज की दो समान्तर भुजाओं के बीच लम्बवत् दूरी अन्य समान्तर भुजाओं की लम्बाई से हमेशा कम होती है।
BE < BC तथा AF < AD
दोनों को जोड़ने पर,
BC + AD > BE + AF ...(ii)
⇒ BC + AD + AB + CD > BE + AF + AB + CD
(दोनों पक्षों में AB + CD को जोड़ने पर)
⇒ AB + BC + CD + AD > AB + BE + EF + AF [समी (i) से मान रखने पर]
अतः समान्तर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
प्रश्न 2. आकृति 9.30 में, भुजा BC पर दो बिन्दु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि:
ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप अब उस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, जो आपने इस अध्याय की 'भूमिका' में छोड़ दिया था कि "क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है"?
Solution
[नोट: ध्यान दीजिए कि BD = DE = EC लेने से AABC तीन त्रिभुजों ABD, ADE और AEC में विभाजित हो जाता है जिनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इस प्रकार, BC को n बराबर भागों में विभाजित करके और इस भुजा को विभाजित करने वाले बिन्दुओं को सम्मुख शीर्ष A से मिलाकर आप इस त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]
दिया है, ΔABC में, भुजा BC पर दो बिन्दु D तथा E इस प्रकार हैं कि
BD = DE = EC
माना AO भुजा BC पर लम्ब है।
चूँकि, BD = DE = EC (दिया है)
∴ ar (ΔABD) = ar (ΔADE) = ar (ΔAEC)
हाँ, सभी त्रिभुजों के शीर्षलम्ब समान होते हैं। बुधिया इस प्रश्न का परिणाम अपने खेत को तीन बराबर भागों में विभाजित करने में प्रयोग करेगा।
प्रश्न 3. आकृति 9.31 में, ABCD, DCFE और ABFE समान्तर चतुर्भुज हैं । दर्शाइए कि ar (ADE) = ar (BCF) है।
Solution
दिया है, ABCD, DCFE तथा ABFE समान्तर चतुर्भुज हैं।
ΔADE तथा ΔBCF में,
AD = BC (∵ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है)
DE = CF (∵ DCFE एक समान्तर चतुर्भुज है)
तथा AE = BF (∵ ABFE एक समान्तर चतुर्भुज है)
अतः ΔADE ≌ ΔBCF
∴ ar (ΔADE) = ar (ΔBCF)
प्रश्न 4. आकृति 9.32 में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और BC को एक बिन्दु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ भुजा DC को P पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि:
ar (BPC) = ar (DPQ) है।
[संकेत: AC को मिलाइए।]
Solution
दिया है, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और AD|| CQ तथा AQ = CQ है।
रेखाखण्ड AC को मिलाइए।
अब, ΔAPC तथा ΔBPC समान आधार PC तथा समान समान्तर रेखाओं PC तथा AB के मध्य स्थित है।
इस प्रकार,
ar (ΔAPC) = ar (ΔBPC) ...(i)
AD = CQ तथा AD || CQ (दिया है)
अतः चतुर्भुज ACQD में, सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर तथा समान्तर होता है।
अतः ADQC एक समान्तर चतुर्भुज है।
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
∴ CP = DP तथा AP = PQ ...(ii)
ΔAPC तथा ΔDPQ में, दिया है
AP = PQ [समी (i) से]
PC = PD [समी (ii) से]
तथा, ∠APC = ∠DPQ (शीर्षाभिमुख कोण)
SAS नियम द्वारा,
ΔAPC ≌ ΔDPQ
∴ ar(ΔAPC) = ar (ΔDPQ) ...(iii
समी (i) तथा (ii) से,
ar(ΔBPC) = ar (ΔDPQ)
प्रश्न 5. आकृति 9.33 में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि:
(i) ar (BDE) = 1/4 ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = ½ ar (BAE)
(iii) ar (ABC) = 2 ar (BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(v) ar ( BFE) = 2 ar (FED)
(vi) ar (FED) = 1/8 ar (AFC)
[संकेत: EC और AD को मिलाइए। दर्शाइए कि BE || AC और DE || AB है, इत्यादि।]
Solution
AD तथा EC को मिलाइए । माना AABC की भुजा की लम्बाई x है।
अब, ∠BCA = 60° तथा ∠EBC = 60° (चूँकि दोनों त्रिभुज समबाहु हैं)
∠BCA = ∠EBC
अतः BE || AC
चूँकि ΔBAE तथा ΔBEC समान आधार BE तथा समान समान्तर रेखाओं BE तथा AC के मध्य स्थित हैं।
ar (ΔBEC) = ar (ΔBAE)
समी (i) से, ar(ΔBDE) = 1/2 ar (ΔBAE)
(ii) हम जानते हैं कि, माध्यिका एक त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
(iv) यह दिया है कि, ∠BDE = ∠ABD = 60°
∴ BA || ED
अब, ΔBDE तथा ΔAED समान आधार ED तथा समान समान्तर रेखाओं BA तथा DE के मध्य स्थित हैं।
ar (ΔBDE) = ar (ΔAED)
दोनों पक्षों में ar (ΔFED) घटाने पर,
ar(ΔBDE) – ar(ΔFED) = ar (ΔAED) – ar (ΔFED)
⇒ ar(ΔBEF) = ar (ΔAFD)
(v) समकोण ΔABD में,
समी (iv) तथा (v) से,
ar (ΔAFD) = 2 ar (ΔEFD) [भाग (iv) से]
ar(ΔAFD) = ar (ΔBEF)
⇒ ar(ΔBFE) = ar (ΔAFD)
(vi) अब,
समी (vi) तथा (vii) से,
ar (ΔFED) = 1/8 ar(ΔAFC)
प्रश्न 6. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि:
ar (APB) × ar (CPD) = ar (APD) × ar (BPC)
[संकेत: A और C से BC पर लम्ब खींचिए।]
Solution
दिया है, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
A तथा C से BD पर दो लम्ब क्रमशः AE तथा CF खींचते हैं। अब,
बायाँ पक्ष = ar (ΔAPB) × ar (ΔCPD)
तथा, दायाँ पक्ष = ar (ΔAPD) × ar (ΔBPC)
समी (i) तथा (ii) से,
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
अर्थात्, ar (ΔAPB) × ar (ΔCPD) = ar (ΔAPD) × ar (ΔBPC)
प्रश्न 7. P और Q क्रमश: ΔABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं तथा R रेखाखण्ड AP का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि:
(i) ar (PRQ) = ½ ar (ARC)
(ii) ar (RQC) = 3/8 ar (ABC)
(iii) ar (PBQ) = ar (ARC)
Solution
दिया है, P और Q, ΔABC की भुजाओं क्रमश: AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं तथा R रेखाखण्ड AP का मध्य-बिन्दु है।
चूँकि P और Q क्रमशः भुजाओं क्रमश: AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं।
∴ PQ || AC तथा PQ = 1/2 AC (मध्य-बिन्दु प्रमेय से)
RM || AC || PQ खींचते हैं।
और QG ⟂ RM तथा MH ⟂ AC भी खीचते हैं।
∵ PQ || RM || AC तथा PR = RA
∴ QM = MC
(i) ΔQGM तथा ΔMHC में,
∠QGM = ∠MHG (प्रत्येक 90° है)
∠QMG = ∠MCH (संगत कोण)
QM = MC (दिया है)
∴ ΔQGM ≌ ΔMHC (SAS नियम से)
⇒ QG = MH (CPCT द्वारा)
∵ PQ || RM
(ii) OL ⟂ BP खींचने पर,
(∵ P, AB का मध्य-बिन्दु है तथा R, AP का मध्य-बिन्दु है)
∴ BP = 2PR
= 2 ar (ΔRPQ)
= 2½ (ΔARC) [भाग (i) से]
= ar (ΔARC)
(iii) चूँकि M, QC का मध्य-बिन्दु है।
ar (ΔRQM) = ar (ΔRMC)
प्रश्न 8. आकृति 9.34 में, ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखण्ड AX ⟂ DE भुजा BC को बिन्दु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि:
(i) ΔMBC ≌ ΔABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) ΔFCB ≌ ΔACE
(v) ar (CYXE ) = 2 ar (FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
Solution
(i) ΔABD तथा ΔMBC में,
BC = BD (ये वर्ग की भुजाएँ हैं)
MB = AB
तथा, ∠MBC = 90° + ∠ABC
= ∠DBC + ∠ABC
= ∠ABD
∴ ar (ΔMBC) ≌ ar (ΔABD) (SAS नियम से)
(ii) भाग (i) से, ΔMBC = ΔABD ...(i)
परन्तु, ar (ΔABD) = ½ ar (BYXD) ...(ii)
(चूँकि ΔABD तथा आयत BYXD समान आधार तथा समान समान्तर रेखाओं के मध्य स्थित है )
समी (i) तथा (ii) से,
ar (ΔMBC) = ½ ar (BYXD) ...(iii)
⇒ ar (BYXD) = 2 ar (ΔMBC)
(iii) अब, ar (ΔMBC) = ½ ar (ABMM) ...(iv)
(चूँकि तथा वर्ग ABMN समान आधार MB तथा समान समान्तर रेखाओं MB तथा NC के मध्य स्थित है )
समी (iii) तथा (iv) से,
ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) ΔACE तथा ΔFCB में,
AC = FC
तथा, CE = BC (ये वर्ग की भुजाएँ हैं)
∠FCB = 90° + ∠ACB = ∠BCE + ∠ACB = ∠ACE
अतः ΔFCB ≌ ΔACE (SAS नियम से)
(v) भाग (iv) से, ar (ΔACE) = ar (ΔFCB) ...(v)
परन्तु, ar (ΔACE) = ½ ar (CYXE) ...(vi)
(चूँकि दोनों समान आधार CE तथा समान समान्तर रेखाओं CE तथा AX के मध्य स्थित हैं)
समी (v) तथा (vi) से,
ar (ΔACE) = ½ ar (CYXE) = ar (ΔFCB) ...(vii)
⇒ ar (CYXE) = ½ ar (ΔFCB)
(vi) अब, ar (ΔFCB) = ½ ar (ACFG) ...(viii)
(चूँकि दोनों समान आधार CF तथा समान समान्तर रेखाओं CF तथा BG के मध्य स्थित हैं)
समी (vii) तथा (vii) से,
½ ar (ACFG) = ½ ar (CYXE)
⇒ ar (ACFG) = ar (CYXE)
(vii) अब, ar (BCED) = ar (BYXD) + ar (CYXE)
= ar (ABMM) + ar (ACFG) [समी (ii) तथा (vi) से]