Class 9 Maths Chapter 7 Triangles 7.2 NCERT Solutions in Hindi Medium
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त्रिभुज Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 7.2
प्रश्न 1. एक समबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और O को जोडिए। दर्शाइए कि :
(i) OB = OC
(ii) AO कोण ∠A को समद्विभाजित करता है।
Solution
दिया है: समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, जिसमें AB = AC, और ∠B और ∠C कोण समद्विभाजक O पर मिलते हैं |
सिद्ध करना है :
(i) OB = OC
(ii) AO कोण ∠A को समद्विभाजित करता है |
प्रमाण:
ΔABC में हमें प्राप्त है,
AB = AC
∠B = ∠C [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं |]
अथवा ½∠B = ½∠C
इसलिए, ∠OBC = ∠OCB …(i)
ΔABO और ΔACO में,
AB = AC [दिया है]
∠OBC = ∠OCB [समी (i) से]
AO = AO [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से,
ΔABO ≅ ΔACO
OB = OC [CPCT से]
∠BAO = ∠CAO [CPCT से]
अत: AO कोण ∠A को समद्विभाजित करता है |
प्रश्न 2. ΔABC में, AD भुजा BC का लम्ब सम्द्विभाजक है (देखिये आकृति 7.30). दर्शाइए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है |
Solution
दिया है : ΔABC में, AD, BC का लंब सम्द्विभाजक है |
सिद्ध करना है : ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है|
प्रमाण:
ΔABD तथा ΔACD में,
DB = DC [चूँकि D BC को समद्विभाजित करता है]
∠BDA = ∠CDA [90° प्रत्येक]
AD = AD [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से,
ΔABD ≅ ΔACD
AB =AC [CPCT से]
अत: ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है|
प्रश्न 3. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं BE और CF पर क्रमशः शीर्षलम्ब AC और AB खींचे गए हैं (देखिए आकृति 7.31)। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।
Solution
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें BE ⊥ AC और CF ⊥ AB जहाँ AB = AC है |
सिद्ध करना है: BE = CF
प्रमाण:
यहाँ, BE ⊥ AC और CF ⊥ AB (दिया है)
ΔABE और ΔACF में,
∠AEB = ∠AFC [90° प्रत्येक]
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
AB = AC (दिया है)
ASA सर्वांगसमता कसौटी नियम से,
ΔABE ≅ ΔACF
∴ BE = CF [CPCT से]
प्रश्न 4. ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्षलंब BE और CF बराबर हैं (देखिए आकृति. 7.32)। दर्शाइए कि:
(i) ΔABE ≅ ΔACF
(ii) AB = AC, अर्थात, ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
Solution
दिया है: ABC एक त्रिभुज है जिसमें BE ⊥ AC और CF ⊥ AB है और BE = CF है |
सिद्ध करना है :
(i) ΔABE ≅ ΔACF
(ii) AB = AC,अर्थात, ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
प्रमाण :
(i) ΔABE तथा ΔACF में,
BE = CF (दिया है)
∠AEB = ∠AFC [90° प्रत्येक]
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
ASA सर्वांगसमता नियम के उपयोग से,
(i) ΔABE ≅ Δ ACF
(ii) AB = AC [CPCT से]
इसलिए, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
प्रश्न 5. ΔABC और ΔDBC सामान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति 7.33)। दर्शाइए कि ∠ABD = ∠ACD है।
Solution
दिया है : ΔABC और ΔDBC सामान आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं |
सिद्ध करना है : ∠ABD = ∠ACD
प्रमाण:
ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
AB = AC (दिया है)
∴ ∠ABC = ∠ACB ...(i) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
इसीप्रकार, ΔBCD भी एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
BD = CD (दिया है)
∴ ∠DBC = ∠DCB ...(ii) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर ,
∠ABC + ∠DBC = ∠ACB + ∠DCB
या, ∠ABD = ∠ACD
प्रश्न 6. ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढाया गया है कि AD = AB है (देखिए आकृति. 7.34)। दर्शाइए कि ∠BCD एक समकोण है।
Solution
दिया है : ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है |
भुजा BA को बिंदु D तक बढाई गयी है जिससे AD = AB है |
सिद्ध करना है : ∠BCD = 90°
प्रमाण:
AB = AC ...(i) (दिया है)
और AB = AD ...(ii) (दिया है)
समीकरण (i) तथा (ii) से हमें प्राप्त होता है |
AC = AD ...(iii)
∴ ∠3 = ∠4 ...(iv) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
अब, AB = AC (समी० (i) से)
∴ ∠1 = ∠2 ...(v) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
ΔABC में
बहिष्कोण ∠5 = ∠1 + ∠2 (बहिष्कोण अत:अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है )
अथवा, ∠5 = ∠2 + ∠2 समी० (v) से
अथवाr, ∠5 = 2∠2 ...(vi)
इसीप्रकार,
बहिष्कोण ∠6 = ∠3 + ∠4
⇒ ∠6 = ∠3 + ∠3 समी० (iv) से
⇒ ∠6 = 2∠3 ...(vii)
अथवा, ∠6 = 2∠3 (समी० (vii) से)
समीकरण (vi) तथा (vii) को जोड़ने पर,
∠5 + ∠6 = 2∠2 + 2∠3
⇒ ∠5 + ∠6 = 2(∠2 + ∠3)
अथवा, 180° = 2(∠2 + ∠3) [∵ ∠BAC + ∠DAC = 180°]
⇒ ∠2 + ∠3 = 180°/2
⇒ ∠BCD = 90°
प्रश्न 7. ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = 90° और AB = AC तो ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
Solution
दिया है : ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है |
ज्ञात करना है : ∠B और ∠C
AB = AC (दिया है)
∴ ∠B = ∠C ...(i) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
त्रिभुज ABC में,
∠A + ∠B + ∠C = 180° (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)
90° + ∠B + ∠B = 180° [समीकरण (i) के प्रयोग से]
⇒ 2∠B = 180° - 90°
⇒ 2∠B = 90°
⇒ ∠B = 90°/2
⇒ ∠B = 45°
∴ ∠B = 45° and ∠C = 45°
प्रश्न 8. दर्शाइए कि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का होता है।
Solution
दिया है : ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = BC = AC
सिद्ध करना है :
∠A = ∠B = ∠C = 60°
प्रमाण :
AB = AC (दिया है)
∠B = ∠C ...(i) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
AB = BC (दिया है)
∠A = ∠C ...(ii) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
AC = BC (दिया है)
∠A = ∠B ...(iii) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
समीकरण (i), (ii) और (iii) से हमें प्राप्त होता है |
∠A = ∠B = ∠C ...(iv)
त्रिभुज ABC में,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + ∠A + ∠A = 180°
⇒ 3 ∠A = 180°
⇒ ∠A = 180°/3
⇒ ∠A = 60°
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°