Class 9 Maths Chapter 7 Triangles 7.3 NCERT Solutions in Hindi Medium
त्रिभुज Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 7.3
प्रश्न 1. ΔABC और ΔDBC एक ही आधार BC पर बने दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति 7.39) | यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि:
(i) ΔABD ≅ ΔACD
(ii) ΔABP ≅ ΔACP
(iii) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है |
(iv) AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है |
Solution
दिया है: ∆ABC तथा ∆DBC दो समद्विबाहु त्रिभुज उभयनिष्ठ आधार BC इस प्रकार रखते हैं कि AB = AC तथा DB = DC|
सिद्ध करना है:
(i) ∆ABD ≅ ∆ACD
(ii) ∆ABP ≅ ∆ACP
(iii) AP, ∠A के साथ-साथ ∠D को भी समद्विभाजित करता है।
(iv) BC का लम्बार्द्धक AP है।
प्रमाण:
(i) ∆ABD तथा ∆ACD में,
AB = AC (दिया है)
BD = CD (दिया है)
तथा, AD = AD (उभयनिष्ठ)
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD (SSS सर्वांगसम अभिगृहीत द्वारा)
(ii) ∆ABP तथा ∆ACP में,
AB = AC (दिया है)
∠a = ∠b (∵ ∆ABD ≅ ∆ACD)
तथा, AP = AP (उभयनिष्ठ)
∴ ∆ABP ≅ ∆ACP (SAS सर्वांगसम अभिगृहीत द्वारा)
(iii) ∠a = ∠b (∵ ∆ABD ≅ ∆ACD)
⇒ AP, ∠A को समद्विभाजित करती है।
⇒ ∠ADB = ∠ADC (∵ ∆ABD ≅ ∆ACD)
⇒ 180° - ∠ADB = 180° - ∠ADC
⇒ ∠BDP = ∠CDP (रेखीय युग्म अभिगृहीत द्वारा )
⇒ AP, ∠D को समद्विभाजित करती है।
(iv) BP = CP (∵ ∆ABP ≅ ∆ACP)
तथा, ∠c = ∠d ...(i)
परन्तु, ∠c + ∠d = 180° (रेखीय युग्म)
∴ ∠c + ∠c = 180°
⇒ ∠c = 90° [समी (i) से]
⇒ ∠c = ∠d = 90°
अतः BC का लम्बार्द्धक AP है।
प्रश्न 2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि
(i) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
Solution
∆ABD तथा ∆ACD में,
AB = AC (दिया है)
∠ADB = ∠ADC = 90° (∵ दिया है AD ⊥ BC)
तथा, AD = AD (उभयनिष्ठ)
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD (RHS सर्वांगसम अभिगृहीत द्वारा)
BD = DC (CPCT द्वारा)
⇒ AD, BC को समद्विभाजित करता है।
तथा, ∠BAD = ∠CAD (CPCT द्वारा)
⇒ AD, ∠A को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 3. एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमशः एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं (देखिए आकृति 7.40)। दर्शाइए कि:
(i) ΔABM ≅ ΔPQN
(ii) ΔABC ≅ ΔPQR
Solution
दिया है, ∆ABC की माध्यिका AM है।
⇒ BM = MC = ½BC (∵ M, BC को समद्विभाजित करता है) ...(i)
∆PQR की माध्यिका PN है।
⇒ QN = NR = ½QR (∵ N, QR को समद्विभाजित करता है) ...(ii)
अब,
BC = QR (दिया है)
⇒ ½BC = ½QR
BM = QN [समी (i) तथा (ii) से] ...(iii)
(i) ∆ABM तथा ∆PQN में,
AB = PQ (दिया है)
AM = PN (दिया है)
तथा, BM = QN [समी (iii) से]
∆ABM ≅ ∆PQN (SSS सर्वांगसम अभिगृहीत द्वारा)
(ii) ∆ABC तथा ∆PQR में,
AB = PQ (दिया है)
∠B = ∠Q (∵ ∆ABM ≅ ∆PQN)
तथा, BC = QR (दिया है)
∴ ∆ABC ≅ ∆PQR (SAS सर्वांगसम अभिगृहीत द्वारा)
प्रश्न 4. BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलंब हैं | RHS सर्वागसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि DABC एक समद्विबाहु त्रिभुज हैं |
Solution
∆BEC तथा ∆CFB में, दिया है,
∠BEC = ∠CFB = 90° [∵ BE ⊥ AC तथा CF ⊥ AB (दिया है)]
BC = BC (उभयनिष्ठ)
तथा, BE = CF (दिया है)
∴ ∆BEC ≅ ∆CFB (RHS सर्वांगसम अभिगृहीत द्वारा)
∴ EC = FB (CPCT द्वारा) ...(i)
∆AEB तथा ∆AFC में दिया है,
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∠AEB = ∠AFC = 90° [∵ BE ⊥ AC तथा CF ⊥ AB]
तथा, EB = FC (दिया है)
∆AEB ≅ ∆AFC (AAS सर्वांगसम अभिगृहीत द्वारा)
∴ AE = AF (CPCT द्वारा) ...(ii)
समी (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
EC + AE = FB + AF (∵ AC = EC + AE तथा AB = FB + AF)
⇒ AC = AB
अतः ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 5. ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है | AP ⊥ BC खींच कर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है |
Solution
∆ABP तथा ∆ACP में,
AB = AC (दिया है)
AP = AP (उभयनिष्ठ)
तथा, ∠APB = ∠APC = 90° (∵ AP ⊥ BC)
∴ ∆ABP ≅ ∆ACP (RHS सर्वांगसम अभिगृहीत द्वारा)
⇒ ∠B = ∠C (CPCT द्वारा)